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8 posti profilo economico-statistico banca d'italia 2011
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Da: peo 12/07/2011 17:24:53
Nessuno a provato a risolvere l'esercizio che indicavo?

Da: Jack Flower 13/07/2011 09:40:40
x berbero
se esce una roba del genere mi alzo e me ne vado di corsa..al massimo mi preparo il backtesting secondo basilea II

Da: NewCo 13/07/2011 11:28:24
cmq potete stare tranquilli sulla preparazione...

ieri ho parlato con uno che partecipa e non sapeva derivare la distribuzione di un semplice test F asintotico, nè aveva idea di cosa fosse il teorema di frisch-waugh....

Da: EnzoF 13/07/2011 11:42:16
@peo ti rispondo io stasera,
@newco, il concorso tocca vincerlo, mica non arrivare ultimo. :D

Da: s a b a 13/07/2011 12:51:30
EnzoF renderesti pubblica la risposta alla domanda di peo? grazie in anticipo e buono studio a tutti. Notizie su G.Alleva???

Da: ... 13/07/2011 16:01:54
ma la commissione quando esce?

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Da: x ... 13/07/2011 18:35:41
la commissione è già uscita, non ti sei reso conto???
sveglia!!!!!

Da: peo 13/07/2011 22:58:52
caro EnzoF aspetto con ansia la risposta.

perché vi preoccupate della commissione? Pensate possano influire sulle domande all'esame? E come?

Da: EnzoF 13/07/2011 23:15:22
Uso la notazione del brockwell & davis
prendiamo gli incrementi due volte, il modello diventa

(1-B)^2(1-\alpha X_n)= (1-B)^2 Z, n\in \mathbb{Z}

ovvero è la soluzione non stazionaria di una equazione
ARIMA(1,2,0), che può essere scritto come

(1-B)^2 X_n=Y_n, n\in \mathbb{Z}

dove Y_n è il processo di Orstein-Uhlenbeck che viene differenziato.

per farla breve assumiamo di avere infinite osservazioni (nel caso del AR(1) è uguale dato che serve solo il passo precedente), allora l'h-step prediction error è
\hat{X}_n+h \sigma^2\sum_{i=0}^{h-1} \psi^2_i (formula 9.5.7 di B&D)
dove \psi^2_i sono i coefficienti dell'espansione di taylor in z=0 di
(1-z)^-2(1-\alpha z)^-1
che sarebbero
\psi_0=1
\psi_1=2+\alpha
\psi_2=3+2*\alpha+\alpha^2
......

Da: EnzoF 13/07/2011 23:22:31
poi se devi stimare i coefficienti, differenzi due volte, calcoli la PACF(1) degli incrementi, risolvendo le equazioni di Yule-Walker.

Inoltre la sigma^2 può essere calcolata elegantemente (ma mi sa che non è pratico) usando la formula di kolmogorov (da qualche parte l'ho vista chiamare formula di zaego..)

Da: peo 14/07/2011 00:23:46
giusto per vedere se ho capito qualcosa di quello che hai fatto,

per te Y_n=(1-B)^2 U_t / aB^2

Da: EnzoF 14/07/2011 01:55:26
niente sorry, ho scritto una cazzata, ma sono lesso oggi (avanzi di febbre)

Non è un ARIMA(1,2,0), bensì un arima(1,2,2), il cui ARMA(1,2) sottostante è casuale ma non invertibile.
In genere quello che ho scritto rimane vero, anzi è anche più facile.
perchè allora
l'h-step prediction error è
\sigma^2\sum_{i=0}^{h-1} \psi^2_i (formula 9.5.7 di B&D)

dove \psi_j=\alpha^j. (quello di un AR(1))

è ovvio perchè alla fine è solo un AR(1) con un trend applicato, e le due unit roots ambo i lati si cancellano l'un con l'altra, lasciando solo un AR(1). In genere questo conduce, ovviamente, ad una perdita di unicità, perchè abbiamo ucciso il trend.

Forse vale la pena notare che non si poteva procedere fittando brutalmente i least square sul modello
X_t=[1 t][\delta c] +\epsilon

dove epsilon sarebbe, conoscendo il modello vero, \alpha X_{t-1}+U_t. Ci sarebbe un bias da variabile omessa.

correggetemi se dico cazzate, mi raccomando

Da: Jack Flower 14/07/2011 13:00:59
:-)

Da: EnzoF 14/07/2011 13:09:57
lo stesso risultato lo ottieni se fai lo stimatore in maniera pedestre,
ovvero
risolvi l'equazione di ricorrenza (supponi di conoscere i parametri)
\hat{X}_n+1= \delta+c n+X_n
trovandoti (l'equazione del processo senza il rumore)
\hat{X}_{n+h}

invece il processo vero lo ottieni risolvendo
X_{n+1}= \delta+c n+X_n+U_n (col rumore)

e ti trovi X_{n++h}

fai la differenza ed hai

\hat{X}_{n+h}-X_{n+h}=(\sum_{i=0}^{h-1}\alpha^i D^i )U_t.

che per l'appunto è la rappresentazione causale del processo AR(1), troncata a {h-1} e la cui varianza e' appunto
(\sum_{i=0}^{h-1}\alpha^i)\sigma^2

Hai problemi addizionali se i parametri sono stimati, dato che il drift non si cancella nella differenza e si propaga, cosa per cui dubito ci sia una formula chiusa.

Ora io vorrei capire quale cazzo di stile bisogna seguire....

Da: Supplente 15/07/2011 20:00:10
Se vi piace tanto la matematica perché non provate con le scuole?

Da: mas212 15/07/2011 20:05:23
poi ci spieghi il signnificato di questa frase ke a me sembra completamente insensata....

Da: Supplente 15/07/2011 20:26:22
Nelle scuole medie e superiori c'è carenza di professori di matematica, provate a iscrivervi alle graduatorie d'istituto in questo mese.
E' finita l'era dei quants.

Da: EnzoF 15/07/2011 20:40:51
Supplente (nomen omen) cosa insegni tu?
no perché sai, solo gli ignoranti di matematica (soprattuto italiani, dove la gente pensa che la scienza non sia cultura) credono che con la matematica non si lavori.

Da: Supplente 15/07/2011 20:53:52
Non ho certezza che tutti quelli che hanno inviato domanda di ammissione al concorso lavorino.
Se il settore economico-finanziario privato non vi ha assunto significa che c'è eccesso di offerta di matematici anche in questo settore.

Da: EnzoF 15/07/2011 21:08:48
don't feed the troll, please.

Da: peo 17/07/2011 16:38:33
raga postate esercizi che forse serve a tutti.

proviamo questo del 2010, esercizio 2 di metodi quantitativi.

y=gamma1 x1 + gamma2 x2 + gamma3 x3 +u

dove :

gamma1 + gamma2 = beta
gamma2 + gamma3 = -beta

qual'è lo stimatore lineare non distorto a varianza minima di beta?

più che sommare i primi 2 regressori non saprei, è giusto? voi che dite?

Da: Sir Mei 17/07/2011 17:52:49
@ Peo

io proporrei uno stimatore OLS vincolato, con R matrice 2X3 e r vettore colonna di dimensione 2, e proverei a risolvere il problema in forma compatta. Altrimenti si tratterebbe di risolvere un sistema in 4 equazioni e 4 incognite (dal punto di vista computazionale mi sembra abb. pesante come cosa)
Si può cmq dimostrare che la varianza dello stimatore OLS vincolato è maggiore di quella dello stimatore OLS libero.

Da: EnzoF 17/07/2011 18:50:02
sbagliato, la varianza dello stimatore vincolato è uguale o minore a quello di quello libero. La restrizione genera dei vincoli sulle soluzioni ammissibili, limitando anche le fluttuazioni (diciamo che è come avere info extra)

Da: Sir Mei 17/07/2011 19:03:20
In effetti io ero certo di quello che scrivi, poi però mi sono imbattuto sul web in questo esercizio:

Dimostrare che la varianza dello stimatore dei minimi quadrati vincolato b, che minimizza
S(b) = (y ô�� Xb)0(y ô�� Xb) sotto il vincolo Rb = q, `e maggiore della varianza dello
stimatore dei minimi quadrati non vincolato b

Da: EnzoF 17/07/2011 19:44:14
bhe tendo a fidarmi di quello che dice il greene, dato che c'è pure una convincente dimostrazione.
poi apparte che il problema è un bel trabocchetto. (mortacci sua)

devi stimare beta, che è nel vincolo. Quindi hai fondamentalemente 3 regressori e 4 parametri.
Se sostituisci i vincoli nel sistema, puoi farlo apparire come una regressione su 4 parametri, ma hai collinearity, perchè necessariamente il 4 regressore sarà una combinazione lineare di x_1,x_2,x_3

Allora quello che farei io userei OLS sul equazione, e risolverei in beta, trovando (uno degli \infty^1) beta.

\hat\beta=\hat\gamma_1+\hat\gamma_2
oppure
\hat\beta=-\hat\gamma_2-\hat\gamma_3

allora per il teorema di gauss markov, (oppure usando la cramer device, che è uguale) anche lo stimatore di beta è BLUE. (combinazione lineare di quantità stimate).

in genere i due valori ottenuti saranno diversi diversi (e si può testare con i confidence bound se è il caso) quindi esiste una intera famiglia di parametri BETA, dove la cardinalità di BETA sarà \infty^1

a me pare un esercizio mal posto

Da: EnzoF 17/07/2011 20:04:32
anche se pensandoci meglio il sistema lagrangiano sarebbe

X_*'X_*   | R' ]
R    | 0 ]

dove
X*=[x_1,x_2,x_3, 0] =n x 4

e
R: 4x2

\gamma_1 + \gamma_2 -\beta = 0
\gamma_2 + \gamma_3 -\beta=0

Potrebbe essere invertibile, anche se la sottomatrice X_*'X_*   non lo è. Quindi puoi trovare la soluzione ancora la soluzione di questo sistema, e di consequenza il BLUE di beta

Da: EnzoF 17/07/2011 20:38:30
unaulteriore riflessione e poi ri-entro nel mio buco.
alla fine risolvendo il sistema lagrangiano, si è in grado di selezionare un valore di beta che minimizza la violazione del vincolo. Il vincolo
gamma1 + gamma2 = beta
gamma2 + gamma3 = -beta
genera nello spazio delle soluzioni (che è R^3), una retta di possibili valori, e questa retta dipende da beta.
su questa retta, il OLS darà un SSE, diciamo E_\beta.
Se facciamo variare \beta, varierà anche E_\beta. Con questa minimizzazione cerchiamo di trovare il valore minimo di E_\beta, cercando di non violare "troppo" il vincolo imposto da \beta. Sarebbe curioso sapere come si controbilanciano questi effetti.

Se dico cazzate correggetemi!

Da: DD 17/07/2011 21:05:00
Forse sono io troppo stupido, ma potreste postare la pagina dove avete trovato questo esercizio?

Grazie

Da: peo 17/07/2011 21:39:02
scusatemi ma perché sommare i gamma della regressione originale non va bene? Al massimo sugli errori standard ci sarebbero problemi ma non viene chiesta inferenza. oppure semplicemente sommare i regressori e metterli in un'altra equazione anche a me sembra troppo banale, ma perché non va bene? Poi una volta noto beta si possono testare i vincoli sui gamma, o no?

Da: EnzoF 17/07/2011 21:54:44
il problema peo è, come ho detto, che esistono infiniti beta.
cioè se tu fai OLS e poi calcoli

\gamma_1 + \gamma_2= \beta_1
-\gamma_2-\gamma_3 =\beta_2

beta_1 sarà di certo diverso da beta_2, probabilmente in maniera drastica.

ci sarà una infinità di valori (leggi;una retta) di beta passante per \beta_1 e \beta_2 che risolve con lo stesso LSE. Quindi non riesci a selezionare un beta particolare.

Alla fine il tuo ragionamento non consente di estrarre un beta particolare che potrebbe essere utile dal punto di vista teorico.

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Da: peo	12/07/2011 17:24:53
Nessuno a provato a risolvere l'esercizio che indicavo?

Da: Jack Flower	13/07/2011 09:40:40
x berbero se esce una roba del genere mi alzo e me ne vado di corsa..al massimo mi preparo il backtesting secondo basilea II

Da: NewCo	13/07/2011 11:28:24
cmq potete stare tranquilli sulla preparazione... ieri ho parlato con uno che partecipa e non sapeva derivare la distribuzione di un semplice test F asintotico, nè aveva idea di cosa fosse il teorema di frisch-waugh....

Da: EnzoF	13/07/2011 11:42:16
@peo ti rispondo io stasera, @newco, il concorso tocca vincerlo, mica non arrivare ultimo. :D

Da: s a b a	13/07/2011 12:51:30
EnzoF renderesti pubblica la risposta alla domanda di peo? grazie in anticipo e buono studio a tutti. Notizie su G.Alleva???

Da: ...	13/07/2011 16:01:54
ma la commissione quando esce?

Da: x ...	13/07/2011 18:35:41
la commissione è già uscita, non ti sei reso conto??? sveglia!!!!!

Da: peo	13/07/2011 22:58:52
caro EnzoF aspetto con ansia la risposta. perché vi preoccupate della commissione? Pensate possano influire sulle domande all'esame? E come?

Da: EnzoF	13/07/2011 23:15:22
Uso la notazione del brockwell & davis prendiamo gli incrementi due volte, il modello diventa (1-B)^2(1-\alpha X_n)= (1-B)^2 Z, n\in \mathbb{Z} ovvero è la soluzione non stazionaria di una equazione ARIMA(1,2,0), che può essere scritto come (1-B)^2 X_n=Y_n, n\in \mathbb{Z} dove Y_n è il processo di Orstein-Uhlenbeck che viene differenziato. per farla breve assumiamo di avere infinite osservazioni (nel caso del AR(1) è uguale dato che serve solo il passo precedente), allora l'h-step prediction error è \hat{X}_n+h \sigma^2\sum_{i=0}^{h-1} \psi^2_i (formula 9.5.7 di B&D) dove \psi^2_i sono i coefficienti dell'espansione di taylor in z=0 di (1-z)^-2(1-\alpha z)^-1 che sarebbero \psi_0=1 \psi_1=2+\alpha \psi_2=3+2*\alpha+\alpha^2 ......

Da: EnzoF	13/07/2011 23:22:31
poi se devi stimare i coefficienti, differenzi due volte, calcoli la PACF(1) degli incrementi, risolvendo le equazioni di Yule-Walker. Inoltre la sigma^2 può essere calcolata elegantemente (ma mi sa che non è pratico) usando la formula di kolmogorov (da qualche parte l'ho vista chiamare formula di zaego..)

Da: peo	14/07/2011 00:23:46
giusto per vedere se ho capito qualcosa di quello che hai fatto, per te Y_n=(1-B)^2 U_t / aB^2

Da: EnzoF	14/07/2011 01:55:26
niente sorry, ho scritto una cazzata, ma sono lesso oggi (avanzi di febbre) Non è un ARIMA(1,2,0), bensì un arima(1,2,2), il cui ARMA(1,2) sottostante è casuale ma non invertibile. In genere quello che ho scritto rimane vero, anzi è anche più facile. perchè allora l'h-step prediction error è \sigma^2\sum_{i=0}^{h-1} \psi^2_i (formula 9.5.7 di B&D) dove \psi_j=\alpha^j. (quello di un AR(1)) è ovvio perchè alla fine è solo un AR(1) con un trend applicato, e le due unit roots ambo i lati si cancellano l'un con l'altra, lasciando solo un AR(1). In genere questo conduce, ovviamente, ad una perdita di unicità, perchè abbiamo ucciso il trend. Forse vale la pena notare che non si poteva procedere fittando brutalmente i least square sul modello X_t=[1 t][\delta c] +\epsilon dove epsilon sarebbe, conoscendo il modello vero, \alpha X_{t-1}+U_t. Ci sarebbe un bias da variabile omessa. correggetemi se dico cazzate, mi raccomando

Da: EnzoF	14/07/2011 13:09:57
lo stesso risultato lo ottieni se fai lo stimatore in maniera pedestre, ovvero risolvi l'equazione di ricorrenza (supponi di conoscere i parametri) \hat{X}_n+1= \delta+c n+X_n trovandoti (l'equazione del processo senza il rumore) \hat{X}_{n+h} invece il processo vero lo ottieni risolvendo X_{n+1}= \delta+c n+X_n+U_n (col rumore) e ti trovi X_{n++h} fai la differenza ed hai \hat{X}_{n+h}-X_{n+h}=(\sum_{i=0}^{h-1}\alpha^i D^i )U_t. che per l'appunto è la rappresentazione causale del processo AR(1), troncata a {h-1} e la cui varianza e' appunto (\sum_{i=0}^{h-1}\alpha^i)\sigma^2 Hai problemi addizionali se i parametri sono stimati, dato che il drift non si cancella nella differenza e si propaga, cosa per cui dubito ci sia una formula chiusa. Ora io vorrei capire quale cazzo di stile bisogna seguire....

Da: Supplente	15/07/2011 20:00:10
Se vi piace tanto la matematica perché non provate con le scuole?

Da: mas212	15/07/2011 20:05:23
poi ci spieghi il signnificato di questa frase ke a me sembra completamente insensata....

Da: Supplente	15/07/2011 20:26:22
Nelle scuole medie e superiori c'è carenza di professori di matematica, provate a iscrivervi alle graduatorie d'istituto in questo mese. E' finita l'era dei quants.

Da: EnzoF	15/07/2011 20:40:51
Supplente (nomen omen) cosa insegni tu? no perché sai, solo gli ignoranti di matematica (soprattuto italiani, dove la gente pensa che la scienza non sia cultura) credono che con la matematica non si lavori.

Da: Supplente	15/07/2011 20:53:52
Non ho certezza che tutti quelli che hanno inviato domanda di ammissione al concorso lavorino. Se il settore economico-finanziario privato non vi ha assunto significa che c'è eccesso di offerta di matematici anche in questo settore.

Da: EnzoF	15/07/2011 21:08:48
don't feed the troll, please.

Da: peo	17/07/2011 16:38:33
raga postate esercizi che forse serve a tutti. proviamo questo del 2010, esercizio 2 di metodi quantitativi. y=gamma1 x1 + gamma2 x2 + gamma3 x3 +u dove : gamma1 + gamma2 = beta gamma2 + gamma3 = -beta qual'è lo stimatore lineare non distorto a varianza minima di beta? più che sommare i primi 2 regressori non saprei, è giusto? voi che dite?

Da: Sir Mei	17/07/2011 17:52:49
@ Peo io proporrei uno stimatore OLS vincolato, con R matrice 2X3 e r vettore colonna di dimensione 2, e proverei a risolvere il problema in forma compatta. Altrimenti si tratterebbe di risolvere un sistema in 4 equazioni e 4 incognite (dal punto di vista computazionale mi sembra abb. pesante come cosa) Si può cmq dimostrare che la varianza dello stimatore OLS vincolato è maggiore di quella dello stimatore OLS libero.

Da: EnzoF	17/07/2011 18:50:02
sbagliato, la varianza dello stimatore vincolato è uguale o minore a quello di quello libero. La restrizione genera dei vincoli sulle soluzioni ammissibili, limitando anche le fluttuazioni (diciamo che è come avere info extra)

Da: Sir Mei	17/07/2011 19:03:20
In effetti io ero certo di quello che scrivi, poi però mi sono imbattuto sul web in questo esercizio: Dimostrare che la varianza dello stimatore dei minimi quadrati vincolato b, che minimizza S(b) = (y ô�� Xb)0(y ô�� Xb) sotto il vincolo Rb = q, `e maggiore della varianza dello stimatore dei minimi quadrati non vincolato b

Da: EnzoF	17/07/2011 19:44:14
bhe tendo a fidarmi di quello che dice il greene, dato che c'è pure una convincente dimostrazione. poi apparte che il problema è un bel trabocchetto. (mortacci sua) devi stimare beta, che è nel vincolo. Quindi hai fondamentalemente 3 regressori e 4 parametri. Se sostituisci i vincoli nel sistema, puoi farlo apparire come una regressione su 4 parametri, ma hai collinearity, perchè necessariamente il 4 regressore sarà una combinazione lineare di x_1,x_2,x_3 Allora quello che farei io userei OLS sul equazione, e risolverei in beta, trovando (uno degli \infty^1) beta. \hat\beta=\hat\gamma_1+\hat\gamma_2 oppure \hat\beta=-\hat\gamma_2-\hat\gamma_3 allora per il teorema di gauss markov, (oppure usando la cramer device, che è uguale) anche lo stimatore di beta è BLUE. (combinazione lineare di quantità stimate). in genere i due valori ottenuti saranno diversi diversi (e si può testare con i confidence bound se è il caso) quindi esiste una intera famiglia di parametri BETA, dove la cardinalità di BETA sarà \infty^1 a me pare un esercizio mal posto

Da: EnzoF	17/07/2011 20:04:32
anche se pensandoci meglio il sistema lagrangiano sarebbe X_'X_ \| R' ] R \| 0 ] dove X=[x_1,x_2,x_3, 0] =n x 4 e R: 4x2 \gamma_1 + \gamma_2 -\beta = 0 \gamma_2 + \gamma_3 -\beta=0 Potrebbe essere invertibile, anche se la sottomatrice X_'X_* non lo è. Quindi puoi trovare la soluzione ancora la soluzione di questo sistema, e di consequenza il BLUE di beta

Da: EnzoF	17/07/2011 20:38:30
unaulteriore riflessione e poi ri-entro nel mio buco. alla fine risolvendo il sistema lagrangiano, si è in grado di selezionare un valore di beta che minimizza la violazione del vincolo. Il vincolo gamma1 + gamma2 = beta gamma2 + gamma3 = -beta genera nello spazio delle soluzioni (che è R^3), una retta di possibili valori, e questa retta dipende da beta. su questa retta, il OLS darà un SSE, diciamo E_\beta. Se facciamo variare \beta, varierà anche E_\beta. Con questa minimizzazione cerchiamo di trovare il valore minimo di E_\beta, cercando di non violare "troppo" il vincolo imposto da \beta. Sarebbe curioso sapere come si controbilanciano questi effetti. Se dico cazzate correggetemi!

Da: DD	17/07/2011 21:05:00
Forse sono io troppo stupido, ma potreste postare la pagina dove avete trovato questo esercizio? Grazie

Da: peo	17/07/2011 21:39:02
scusatemi ma perché sommare i gamma della regressione originale non va bene? Al massimo sugli errori standard ci sarebbero problemi ma non viene chiesta inferenza. oppure semplicemente sommare i regressori e metterli in un'altra equazione anche a me sembra troppo banale, ma perché non va bene? Poi una volta noto beta si possono testare i vincoli sui gamma, o no?

Da: EnzoF	17/07/2011 21:54:44
il problema peo è, come ho detto, che esistono infiniti beta. cioè se tu fai OLS e poi calcoli \gamma_1 + \gamma_2= \beta_1 -\gamma_2-\gamma_3 =\beta_2 beta_1 sarà di certo diverso da beta_2, probabilmente in maniera drastica. ci sarà una infinità di valori (leggi;una retta) di beta passante per \beta_1 e \beta_2 che risolve con lo stesso LSE. Quindi non riesci a selezionare un beta particolare. Alla fine il tuo ragionamento non consente di estrarre un beta particolare che potrebbe essere utile dal punto di vista teorico.